考研数学概率论之抽样分布笔记
一、常用统计量
设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n X X X x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n
1. 样本平均值
样本均值：
X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i X = n 1 i = 1 ∑ n X i 其观察值：
x ‾ = 1 n ∑ i = 1 n x i \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i x = n 1 i = 1 ∑ n x i 样本均值反映了样本数据的平均水平，在对总体均值进行推断时起到关键作用。例如在估计某班级学生的平均成绩时，样本均值就是重要的参考统计量。
2. 样本方差
样本方差：
S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 S 2 = n − 1 1 i = 1 ∑ n ( X i − X ) 2 其观察值：
s 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 s 2 = n − 1 1 i = 1 ∑ n ( x i − x ) 2 样本方差用于衡量样本数据的离散程度，方差越大，说明数据越分散。比如在分析不同批次产品质量的稳定性时，样本方差能直观体现数据的波动情况。
3. 样本标准差
样本标准差：
S = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2} S = n − 1 1 i = 1 ∑ n ( X i − X ) 2 其观察值：
s = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2} s = n − 1 1 i = 1 ∑ n ( x i − x ) 2 它与样本方差作用类似，只是标准差的量纲与数据本身一致，更便于直观理解数据的离散程度。
4. 样本 k k k
A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k A k = n 1 i = 1 ∑ n X i k k = 1 , 2 , ⋯ k=1,2,\cdots k = 1 , 2 , ⋯
a k = 1 n ∑ i = 1 n x i k a_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k a k = n 1 i = 1 ∑ n x i k 一阶原点矩就是样本均值，而高阶原点矩可以反映数据在分布上的一些特征，例如三阶原点矩可以用于衡量数据分布的偏态。
5. 样本 k k k
B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) k B_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^k B k = n 1 i = 1 ∑ n ( X i − X ) k k = 2 , 3 , ⋯ k=2,3,\cdots k = 2 , 3 , ⋯
b k = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) k b_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^k b k = n 1 i = 1 ∑ n ( x i − x ) k 二阶中心矩与样本方差紧密相关，它消除了均值对数据离散程度度量的影响，能更纯粹地反映数据围绕均值的波动。
二、常考性质
若总体 X X X k k k E ( X k ) = μ k E(X^k)=\mu_k E ( X k ) = μ k k ≥ 1 k\geq1 k ≥ 1 n n n k k k A k A_k A k k k k μ k \mu_k μ k A k → P μ k A_k \xrightarrow{P} \mu_k A k P μ k
样本均值 X ‾ \overline{X} X S 2 S^2 S 2
三、常见分布
（一）χ 2 \chi^2 χ 2
1. 定义
设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 )
χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 \chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 服从自由度为 n n n χ 2 \chi^2 χ 2 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2 \sim \chi^2(n) χ 2 ∼ χ 2 ( n ) n n n χ 2 \chi^2 χ 2
2. 概率密度函数
f ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) x n / 2 − 1 e − x / 2 , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2-1} e^{-x/2}, & x>0 \\
0, & x\leq0
\end{cases} f ( x ) = { 2 n /2 Γ ( n /2 ) 1 x n /2 − 1 e − x /2 , 0 , x > 0 x ≤ 0 虽然该函数形式较为复杂，但理解其大致形状和特征很重要，它的图像是在 x > 0 x>0 x > 0
3. 性质
可加性 ：若 χ 1 2 ∼ χ 2 ( n 1 ) \chi_1^2 \sim \chi^2(n_1) χ 1 2 ∼ χ 2 ( n 1 ) χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 2 ) \chi_2^2 \sim \chi^2(n_2) χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 2 ) χ 1 2 + χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 ) \chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2) χ 1 2 + χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 ) χ 2 \chi^2 χ 2 χ 2 \chi^2 χ 2 数学期望与方差 ：若 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2 \sim \chi^2(n) χ 2 ∼ χ 2 ( n ) E ( χ 2 ) = n E(\chi^2)=n E ( χ 2 ) = n D ( χ 2 ) = 2 n D(\chi^2)=2n D ( χ 2 ) = 2 n χ 2 \chi^2 χ 2 χ 2 \chi^2 χ 2
4. 分位点
对于给定的正数 α \alpha α 0 < α < 1 0<\alpha<1 0 < α < 1 P { χ 2 > χ α 2 ( n ) } = α P\{\chi^2 > \chi^2_{\alpha}(n)\}=\alpha P { χ 2 > χ α 2 ( n )} = α χ α 2 ( n ) \chi^2_{\alpha}(n) χ α 2 ( n ) χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ 2 ( n ) α \alpha α χ 2 \chi^2 χ 2
（二）t t t
1. 定义
设 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0,1) X ∼ N ( 0 , 1 ) Y ∼ χ 2 ( n ) Y \sim \chi^2(n) Y ∼ χ 2 ( n ) X X X Y Y Y
T = X Y / n T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} T = Y / n X 服从自由度为 n n n t t t T ∼ t ( n ) T \sim t(n) T ∼ t ( n )
2. 概率密度函数
f ( t ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + t 2 n ) − n + 1 2 , − ∞ < t < + ∞ f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, \quad -\infty < t < +\infty f ( t ) = nπ Γ ( 2 n ) Γ ( 2 n + 1 ) ( 1 + n t 2 ) − 2 n + 1 , − ∞ < t < + ∞ 其图像关于 t = 0 t=0 t = 0
3. 性质
当 n n n n > 30 n>30 n > 30 t t t N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) n n n t t t t t t
4. 分位点
对于给定的正数 α \alpha α 0 < α < 1 0<\alpha<1 0 < α < 1 P { T > t α ( n ) } = α P\{T > t_{\alpha}(n)\}=\alpha P { T > t α ( n )} = α t α ( n ) t_{\alpha}(n) t α ( n ) t ( n ) t(n) t ( n ) α \alpha α t t t t 1 − α ( n ) = − t α ( n ) t_{1-\alpha}(n) = -t_{\alpha}(n) t 1 − α ( n ) = − t α ( n ) t t t t t t
（三）F F F
1. 定义
设 U ∼ χ 2 ( n 1 ) U \sim \chi^2(n_1) U ∼ χ 2 ( n 1 ) V ∼ χ 2 ( n 2 ) V \sim \chi^2(n_2) V ∼ χ 2 ( n 2 ) U U U V V V
F = U / n 1 V / n 2 F = \frac{U/n_1}{V/n_2} F = V / n 2 U / n 1 服从自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1, n_2) ( n 1 , n 2 ) F F F F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F \sim F(n_1, n_2) F ∼ F ( n 1 , n 2 )
2. 概率密度函数
f ( x ) = { Γ ( n 1 + n 2 2 ) Γ ( n 1 2 ) Γ ( n 2 2 ) ( n 1 n 2 ) n 1 / 2 x n 1 / 2 − 1 ( 1 + n 1 n 2 x ) − ( n 1 + n 2 ) / 2 , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x) = \begin{cases}
\frac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)} \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{n_1/2} x^{n_1/2-1} \left(1+\frac{n_1}{n_2}x\right)^{-(n_1+n_2)/2}, & x>0 \\
0, & x\leq0
\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ Γ ( 2 n 1 ) Γ ( 2 n 2 ) Γ ( 2 n 1 + n 2 ) ( n 2 n 1 ) n 1 /2 x n 1 /2 − 1 ( 1 + n 2 n 1 x ) − ( n 1 + n 2 ) /2 , 0 , x > 0 x ≤ 0 其图像也是单峰偏态分布，形状取决于两个自由度的值。
3. 性质
若 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F \sim F(n_1, n_2) F ∼ F ( n 1 , n 2 ) 1 / F ∼ F ( n 2 , n 1 ) 1/F \sim F(n_2, n_1) 1/ F ∼ F ( n 2 , n 1 ) F F F
4. 分位点
对于给定的正数 α \alpha α 0 < α < 1 0<\alpha<1 0 < α < 1 P { F > F α ( n 1 , n 2 ) } = α P\{F > F_{\alpha}(n_1, n_2)\}=\alpha P { F > F α ( n 1 , n 2 )} = α F α ( n 1 , n 2 ) F_{\alpha}(n_1, n_2) F α ( n 1 , n 2 ) F ( n 1 , n 2 ) F(n_1, n_2) F ( n 1 , n 2 ) α \alpha α F 1 − α ( n 1 , n 2 ) = 1 / F α ( n 2 , n 1 ) F_{1-\alpha}(n_1, n_2) = 1/F_{\alpha}(n_2, n_1) F 1 − α ( n 1 , n 2 ) = 1/ F α ( n 2 , n 1 ) F F F
本文档总结了考研概率论中抽样分布的核心知识点，适合复习与查阅。